已知关于x的方程(k-1)x2+（2k-1）x+2＝0．（1）求*：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）...

问题详情：

已知关于x的方程(k-1)x2+（2k-1）x+2＝0．

（1）求*：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）当抛物线y＝(k-1)x2+（2k-1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围．

（3）已知抛物线y＝(k-1)x2+（2k-1）x+2恒过定点，求出定点坐标

【回答】

（1）*见解析；（2）a＞1或a＜﹣4；（3）（0，2）、（﹣2，0）．

【分析】

（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；

（2）通过解(k-1)x2+（2k-1）x+2＝0得到k＝2，由此得到该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，结合图象回答问题．

（3）根据题意得到(k-1)x2+（2k-1）x+2﹣y＝0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．

【详解】

（1）*：①当k＝1时，方程为x+2＝0，所以x＝﹣2，方程有实数根，

②当k≠1时，

∵△＝（2k-1）2﹣4x(k-1)×2＝4k2-12k+9=(2k-3)2≥0，即△≥0，

∴无论k取任何实数时，方程总有实数根

（2）解：令y＝0，则(k-1)x2+（2k-1）x+2＝0，

（x-2）

解关于x的一元二次方程，得x1＝﹣2，x2＝，

∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，

∴1-k＝-1，k=2．

∴该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，

由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．

（3）依题意得(k-1)x2+（2k-1）x+2﹣y＝0恒成立，

即k（x2+2x）-x2-x﹣y+2＝0恒成立，得：x2+2x=0；x1=0，y1=2；x2=-2，y2=0

所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题