设函数f(x)=(a∈R).(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,...
问题详情：
设函数f(x)=
(a∈R).
(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)若f(x)在
上为减函数,求a的取值范围.
【回答】
【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)
=
=
.
因为f(x)在x=0处取得极值,所以f′(0)=0,
即a=0.
当a=0时,f(x)=
,f′(x)=
,故f(1)=
,f′(1)=
,从而
y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-
=
(x-1),化简得3x-ey=0.
(2)由(1)知f′(x)=
,
令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,
由g(x)=0解得x1=
,x2=
.
当x<x1时,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)为减函数;
当x1<x<x2时,g(x)>0,即f′(x)>0,故f(x)为增函数;
当x>x2时,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)为减函数;
由f(x)在
上为减函数,
知x2=
≤3,解得a≥-
,
故a的取值范围为
.
知识点：导数及其应用
题型：解答题
