设函数f(x)=ax3-3x2(a∈R),且x=2是y=f(x)的极值点.(1)求实数a的值,并求函数的单调区...
问题详情:
设函数f(x)=ax3-3x2 (a∈R),且x=2是y= f(x)的极值点.
(1)求实数a的值,并求函数的单调区间;
(2)求函数g(x)=ex·f(x)的单调区间.
【回答】
解 (1)f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),因为x=2是函数y=f(x)的极值点,所以f′(2)=0,即6(2a-2)=0,
因此a=1.
经验*,当a=1时,x=2是函数y=f(x)的极值点.
所以f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).
所以y=f(x)的单调增区间是(-∞,0),(2,+∞);
单调减区间是(0,2).
(2)g(x)=ex(x3-3x2),g′(x)=ex(x3-3x2+3x2-6x)=ex(x3-6x)=x(x+)(x-)ex,
因为ex>0,所以y=g(x)的单调增区间是(-,0),(,+∞);单调减区间是(-∞,-),(0,).
知识点:导数及其应用
题型:解答题