设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b(0<a<1)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值...

问题详情：

设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b(0<a<1)．

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；

(Ⅱ)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′(x)|≤a，试确定a的取值范围；

(Ⅲ)当a＝时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围．

【回答】

解　(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－a)(x－3a)．

令f′(x)＝0，得x＝a或x＝3a.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

∴f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数．

当x＝a时，f(x)取得极小值，f(x)极小＝f(a)＝b－a3；

当x＝3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大＝f(3a)＝b.…………………………4分

(2)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，其对称轴为x＝2a.

因为0<a<1，所以2a<a＋1.

所以f′(x)在区间[a＋1，a＋2]上是减函数．

当x＝a＋1时，f′(x)取得最大值，f′(a＋1)＝2a－1；

当x＝a＋2时，f′(x)取得最小值，f′(a＋2)＝4a－4.

于是有即≤a≤1.又因为0<a<1，所以≤a<1.……………………8分

(3)当a＝时，f(x)＝－x3＋x2－x＋b.

f′(x)＝－x2＋x－，由f′(x)＝0，即－x2＋x－＝0，

解得x1＝，x2＝2，即f(x)在上是减函数，

在上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．

要使f(x)＝0在[1,3]上恒有两个相异实根，即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，

于是有解得0<b≤.………………………12分

知识点：导数及其应用

题型：解答题