已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)...

问题详情：

已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.

(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)若方程f(x)＝(a2－3)x－1(a>0)至多有两个解，求实数a的取值范围．

【回答】

解：(1)f′(x)＝3x2－2ax－3≥0，∵x≥1，∴a≤(x－)．

当x≥1时，(x－)是增函数，其最小值为(1－1)＝0，∴a≤0.

(2)令h(x)＝f(x)－(a2－3)x＋1，h′(x)＝3x2－2ax－a2＝0，

得x＝a或x＝－，∵a>0，∴有

∴x＝－时h(x)有极大值，h(x)极大值＝h(－)＝a3＋1.

x＝a时h(x)有极小值，h(x)极小值＝h(a)＝－a3＋1，

∵若方程f(x)＝(a2－3)x－1(a>0)至多有两个解，

∴h(a)≥0或h(－)≤0，

∴－a3＋1≥0或a3＋1≤0(舍)，解得0<a≤1.

知识点：导数及其应用

题型：解答题