已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范...

问题详情：

已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx（a∈R）

（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1≠x2），*：．

【回答】

 【解析】：（Ⅰ）f'（x）=2ax+1﹣lnx﹣1=2ax﹣lnx（x＞0），

依题意知：f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即．

令，则，

知g（x）在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减，

，于是，即．

（Ⅱ）*：依题意知x1，x2（x1＜x2）是方程2ax﹣lnx=0（x＞0）的两个根，

即2ax1﹣lnx1=0，2ax2﹣lnx2=0，（0＜x1＜x2），

可得2a（x1+x2）=lnx1+lnx2，2a（x1﹣x2）=lnx1﹣lnx2．

所以．

欲*，只要*

，

令h（t）=（t+1）lnt+﹣2（t﹣1）（0＜t＜1），只要h（t）＜0即可．

则，

再令，则．

可知：φ（t）=h'（t）在（0，1）上递减，

可知h'（t）＞h'（1）=0，即h（t）在（0，1）上递增，

有h（t）＜h（1）=0，

综上可知：．

知识点：导数及其应用

题型：解答题