已知函数f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是实数）．（I）求f（x）的单调区间；（II）若设2（e+）＜a...
问题详情：
已知函数f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是实数）．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若设2（e+
）＜a＜
，且f（x）有两个极值点x1,x2（x1＜x2）,
求f（x1）﹣f（x2）取值范围．（其中e为自然对数的底数）．
【回答】
解：（1）∵f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是实数），
∴f（x）的定义域为（0，+∞），
=
令g（x）=2x2﹣ax+2，△=a2﹣16，对称轴x=
，g（0）=2，
当△=a2﹣16≤0，即﹣4≤a≤4时，f′（x）≥0，
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．…
当△=a2﹣16＞0，即a＜﹣4或a＞4时，
①若a＜﹣4，则f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无减区间．…
②若a＞4，令f′（x）=0，得
，
，
当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，x1），（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）．…
综上所述：当a≤4时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．
当a＞4时，f（x）的单调递增区间为（0，x1）和（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）
（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则a＞4，且x1+x2=
＞0，x1x2=1，∴0＜x1＜1＜x2，
又∵
，a=2（
），
，e+
＜
＜3+
，
又0＜x1＜1，解得
．…
∴f（x1）﹣f（x2）=（
）﹣（
）
=（
）﹣a（x1﹣x2）+2（lnx1﹣lnx2）
=（x1﹣x2）
﹣a（x1﹣x2）+2ln
=﹣（
）•（x1+
）+4lnx1
=
，…
令h（x）=
，（
），
则
＜0恒成立，
∴h（x）在（
）单调递减，∴h（
）＜h（x）＜h（
），
即
﹣4＜f（x1）﹣f（x2）＜
﹣4ln3，
故f（x1）﹣f（x2）的取值范围为（
，
）．
知识点：导数及其应用
题型：综合题
