已知函数f(x)=ex-x-1(e是自然对数的底数).(1)求*:ex≥x+1;(2)若不等式f(x)>ax-...
问题详情:
已知函数f(x)=ex-x-1(e是自然对数的底数).
(1)求*:ex≥x+1;
(2)若不等式f(x)>ax-1在x∈[,2]上恒成立,求正数a的取值范围.
【回答】
详解】(1)由题意知,要*,只需*,
求导得,当时,,
当时,,
∴f(x)在是增函数,在时是减函数,
即在时取最小值,
∴,即,
∴.
(2)不等式在上恒成立,即在上恒成立,
亦即在x∈[,2]上恒成立,令g(x)=,,
以下求在上的最小值,
,当时,,
当]时,,
∴当]时,单调递减,当]时,单调递增,
∴在处取得最小值为,
∴正数a的取值范围是.
【点睛】本题考查不等式的*,考查正数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数*质的合理运用.
知识点:基本初等函数I
题型:选择题