已知函数f(x)=aln(x+1)﹣x2,在(1,2)内任取两个实数x1,x2(x1≠x2),若不等式>1恒成...
问题详情:
已知函数f(x)=aln(x+1)﹣x2,在(1,2)内任取两个实数x1,x2(x1≠x2),若不等式>1恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(28,+∞) B.[15,+∞) C.[28,+∞) D.(15,+∞)
【回答】
C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求得x1+1 和x2+1在区间(2,3)内,将原不等式移项,可得>0,即有函数y=f(x)﹣x在(2,3)内递增.求得函数y的导数,可得y′≥0在(2,3)恒成立,即a≥2x2+3x+1在(2,3)内恒成立,求出函数y=2x2+3x+1在[2,3]上的最大值即可.
【解答】解:因实数x1,x2在区间(1,2)内,
故x1+1 和x2+1在区间(2,3)内.
不等式>1恒成立,
即为>0,
即有函数y=f(x)﹣x在(2,3)内递增.
函数y=f(x)﹣x=aln(x+1)﹣x2﹣x的导数为y′=﹣2x﹣1,
即有y′≥0在(2,3)恒成立.
即a≥(2x+1)(x+1)在(2,3)内恒成立.
由于二次函数y=2x2+3x+1在[2,3]上是单调增函数,
故x=3时,y=2x2+3x+1 在[2,3]上取最大值为28,即有a≥28,
故*为[28,+∞).
故选:C.
知识点:导数及其应用
题型:选择题