已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）*：f′（x）在区间（0，π...
问题详情：
已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）*：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈
时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【回答】
（1）见解析；
（2）
.
【分析】
（1）求导得到导函数后，设为
进行再次求导，可判断出当
时，
，当
时，
，从而得到
单调*，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，*得结论；（2）构造函数
，通过二次求导可判断出
，
；分别在
，
，
和
的情况下根据导函数的符号判断
单调*，从而确定
恒成立时
的取值范围.
【详解】
（1）
令
，则
当
时，令
，解得：
当
时，
；当
时，
在
上单调递增；在
上单调递减
又
，
，
即当
时，
，此时
无零点，即
无零点
，使得
又
在
上单调递减 
为
，即
在
上的唯一零点
综上所述：
在区间
存在唯一零点
（2）若
时，
，即
恒成立
令
则
，
由（1）可知，
在
上单调递增；在
上单调递减
且
，
，
，
①当
时，
，即
在
上恒成立
在
上单调递增
，即
，此时
恒成立
②当
时，
，
，
，使得
在
上单调递增，在
上单调递减
又
，
在
上恒成立，即
恒成立
③当
时，
，
，使得
在
上单调递减，在
上单调递增
时，
，可知
不恒成立
④当
时，
在
上单调递减 
可知
不恒成立
综上所述：
【点睛】
本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调*，从而得到最值.
知识点：导数及其应用
题型：解答题
