已知函数f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，a∈R．（1）写出函数f（x）的最小正周期...
问题详情：
已知函数 f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，a∈R．
（1）写出函数 f（x）的最小正周期（不必写出过程）；
（2）求函数 f（x）的最大值；
（3）当a＝1时，若函数 f（x）在区间（0，kπ）（k∈N*）上恰有2015个零点，求k的值．
【回答】
（1）最小正周期为π．（2）见解析（3）k＝1008．
【分析】
（1）由题意结合周期函数的定义直接求解即可；
（2）令
，t∈[1，
]，则当
时，
，
当
时，
，易知
，分类比较
、
的大小即可得解；
（3）转化条件得当且仅当sin2x＝0时，f（x）＝0，则x∈（0，π]时，f（x）有且仅有两个零点，结合函数的周期即可得解.
【详解】
（1）函数 f（x）的最小正周期为π．
（2）∵f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1
＝a
sin2x﹣1＝a
（sin2x+1），
令t
，t∈[1，
]，
当
时，
，
当
时，
，
∵
即
.
∴
，
∵
，
，
∴当
时，
最大值为
；当
，
最大值为
.
（3）当a＝1时，f（x）
，
若f（x）＝0，则
即
，
∴当且仅当sin2x＝0时，f（x）＝0，
∴x∈（0，π]时，f（x）有且仅有两个零点分别为
，π，
∴2015＝2×1007+1，
∴k＝1008．
【点睛】
本题考查了三角函数的综合问题，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于难题.
知识点：三角函数
题型：解答题
