已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2（x∈R...

问题详情：

已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2（x∈R），则不等式f（x）＜2x+1的解集为（　　）

A．（1，+∞）   B．（﹣∞，﹣1）    C．（﹣1，1）   D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

【回答】

A【考点】利用导数研究函数的单调*；导数的运算．

【专题】计算题；函数的*质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．

【分析】令F（x）=f（x）﹣2x﹣1，从而求导可判断导数F′（x）=f′（x）﹣2＜0恒成立，从而可判断函数的单调*，从而可得当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，从而得到不等式f（x）＜2x+1的解集．

【解答】解：令F（x）=f（x）﹣2x﹣1，

则F′（x）=f′（x）﹣2，

又∵f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2，

∴F′（x）=f′（x）﹣2＜0恒成立，

∴F（x）=f（x）﹣2x﹣1是R上的减函数，

又∵F（1）=f（1）﹣2﹣1=0，

∴当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即f（x）﹣2x﹣1＜0，

即不等式f（x）＜2x+1的解集为（1，+∞）；

故选A．

【点评】本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式的方法应用，属于中档题．

知识点：不等式

题型：选择题