已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(﹣∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立,若a=3...
问题详情:
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(﹣∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立,若a=30.3•f(30.3),b=(logπ3)•f(logπ3),c=()•f().则a,b,c的大小关系是( )
A. | a>b>c | B. | c>a>b | C. | c>b>a | D. | a>c>b |
【回答】
考点:
函数奇偶*的*质;简单复合函数的导数;函数的单调*与导数的关系.
专题:
综合题;压轴题.
分析:
由已知式子(x)+xf′(x),可以联想到:(uv)′=u′v+uv′,从而可设h(x)=xf(x),
有:h′(x)=f(x)+xf′(x)<0,所以利用h(x)的单调*问题很容易解决.
解答:
解:构造函数h(x)=xf(x),
由函数y=f(x)以及函数y=x是R上的奇函数可得h(x)=xf(x)是R上的偶函数,
又当x∈(﹣∞,0)时h′(x)=f(x)+xf′(x)<0,
所以函数h(x)在x∈(﹣∞,0)时的单调*为单调递减函数;
所以h(x)在x∈(0,+∞)时的单调*为单调递增函数.
又因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,从而h(0)=0
因为=﹣2,所以f()=f(﹣2)=﹣f(2),
由0<logπ3<1<30.3<30.5<2
所以h(logπ3)<h(30.3)<h(2)=f(),即:b<a<c
故选B.
点评:
本题考查的考点与方法有:1)所有的基本函数的奇偶*;2)抽象问题具体化的思想方法,构造函数的思想;3)导数的运算法则:(uv)′=u′v+uv′;4)指对数函数的图象;5)奇偶函数在对称区间上的单调*:奇函数在对称区间上的单调*相同;偶函数在对称区间上的单调*相反;5)奇偶函数的*质:奇×奇=偶;偶×偶=偶;奇×偶=奇(同号得正、异号得负);奇+奇=奇;偶+偶=偶.
本题结合已知构造出h(x)是正确解答的关键所在.
知识点:*与函数的概念
题型:填空题