已知函数f(x)=x3-3ax(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)的极小值.(2)若直线x+y+m=0对任...
问题详情:
已知函数f(x)=x3-3ax(a∈R).
(1)当a=1时,求f(x)的极小值.
(2)若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.
【回答】
【解析】(1)当a=1时,f′(x)=3x2-3,
令f′(x)=0,得x=-1或x=1.
当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,
所以f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-∞,-1],[1,+∞)上单调递增,
所以f(x)的极小值是f(1)=-2.
(2)方法一:f′(x)=3x2-3a,直线x+y+m=0,
即y=-x-m.
依题意,切线斜率k=f′(x)=3x2-3a≠-1,
即3x2-3a+1=0无解.
所以Δ=0-4×3(-3a+1)<0,所以a<.
方法二:f′(x)=3x2-3a≥-3a,
要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,当且仅当-1<-3a时成立,所以a<.
知识点:*与函数的概念
题型:解答题