已知函数（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在x=e处切线的斜率为﹣1，求此切线方程；（2）若f（x）有两个极...
问题详情：
已知函数
（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在x=e处切线的斜率为﹣1，求此切线方程；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求a的取值范围，并*：x1x2＞x1+x2．
【回答】
（1）∵f'（x）=lnx﹣ax，∴f'（e）=1﹣ae=﹣1，解得
，
∴f（e）=﹣e，故切点为（e，﹣e），所以曲线y=f（x）在x=e处的切线方程为x+y=0．
（2）*：f'（x）=lnx﹣ax，令f'（x）=0，得
．令
，
则
，且当0＜x＜1时，g（x）＜0；当x=1时，g（x）=0；x＞1时，g（x）＞0．令g'（x）=0，得x=e，且当0＜x＜e时，g'（x）＞0；当x＞e时，g'（x）＜0．
故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，所以
．
所以当a＜0时，f（x）有一个极值点；
时，f（x）有两个极值点；
当
时，f（x）没有极值点．综上，a的取值范围是
．
因为x1，x2是f（x）的两个极值点，所以
即
…①
不妨设x1＜x2，则1＜x1＜e，x2＞e，
因为g（x）在（e，+∞）递减，且x1+x2＞x2，所以
，即
…②．由①可得lnx1+lnx2=a（x1+x2），即
，
由①，②得
，所以
【点睛】本题考查了函数的单调*问题，考查导数的应用以及不等式的*，考查转化思想，属难题.．
知识点：导数及其应用
题型：解答题
