已知a＜0，曲线f（x）=2ax2+bx+c与曲线g（x）=x2+alnx在公共点（1，f（1））处的切线相同...

问题详情：

已知a＜0，曲线f（x）=2ax2+bx+c与曲线g（x）=x2+alnx在公共点（1，f（1））处的切线相同． （Ⅰ）试求c-a的值； （Ⅱ）若f（x）≤g（x）+a+1恒成立，求实数a的取值范围．

【回答】

解：（Ⅰ）∵f（x）=2ax2+bx+c，f（1）=2a+b+c， ∴f′（x）=4ax+b，f′（1）=4a+b， 又g（x）=x2+alnx，g（1）=1， ∴g′（x）=2x+，g′（1）=2+a， ∴，得， 故c-a=-1； （Ⅱ）∵f（x）≤g（x）+a+1恒成立， ∴（2a-1）x2+（2-3a）x-alnx-2≤0对x∈（0，+∞）恒成立， 令h（x）=（2a-1）x2+（2-3a）x-alnx-2，（a＜0）， 则h′（x）=， 令h′（x）=0，解得：x=1或x=-＜0，（舍）， 故h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减， 则h（x）max=h（1）=-a-1≤0，解得：a≥-1， 故a∈[-1，0）．

知识点：导数及其应用

题型：解答题