已知函数f(x)=x2-ax+2lnx,a∈R.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线垂直于直线y...
问题详情:
已知函数 f(x)=x2-ax+2lnx,a∈R.
(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线垂直于直线 y=x,求函数 f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若 x>1 时,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
【回答】
解:(Ⅰ)依题意,a= 2
,解得 ,
2 2 2b=1
a =b +c
故椭圆 C 的方程为4 +y =1. 4 分
(Ⅱ)如图,依题意,直线 l 的斜率必存在,
设直线 l 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
y=kx+2
联立方程组x2 2
4 +y =1,消去 y 整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,
-16k 12由韦达定理,x1+x2=2,x1x2=2,
1+4k2
1+4k 12k2-32k2
∴ y1y2 =(kx1 + 2)(kx2 + 2) = k x1x2 + 2k(x1 + x2) + 4 = 1+4k2 + 1+4k2 + 4 =
1+4k2,
因为直线 l 与椭圆 C 相交,则Δ>0, 即 256k2-48(1+4k2)>0,
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当∠AOB 为锐角时,向量O→A·O→B>0,则 x1x2+y1y2>0,
即 2+ 2>0,解得-2<k<2, 10 分
1+4k 1+4k
故当∠AOB 为锐角时,k∈(-2,- 3 ∪ 3
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2). 12 分
2 ) 2 ,
21.解:(Ⅰ)f(x)定义域为(0,+∞),f′(x)=2x-a
2 f′(1)=4-a=-1 ,
a=5,
+x,
f(x)=x -5x+2lnx,f′(x)=2x-5+x= x = x ,
当 x>2 或 0<x<1 f′(x)>0,当1时,f′(x)<0,
2时, 2<x<2
故 f(x)的单调递增区间为(0,1),(2,+∞),单调递减区间为(1,2). 6
2 2
分
x2+2lnx
(Ⅱ)由 f(x)>0,得 a< x 在 x>1 时恒成立,
x2+2lnx x2+2-2lnx
令 g(x)= x ,g′(x)= x2
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在 x>1 时成立,
所以 h(x)在(1,+∞)为增函数,h(x)>h(1)=3>0 .
故 g′(x)>0,故 g(x)在(1,+∞)为增函数.g(x)>g(1)=1, 所以 a≤1,即实数 a 的取值范围为(-∞,1]. 12 分
选考题
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题