已知函数f(x)＝ax3＋bx2经过点M(1,4)，在点M处的切线恰与直线x＋9y＋5＝0垂直．(1)求a，b...

问题详情：

已知函数f(x)＝ax3＋bx2经过点M(1,4)，在点M处的切线恰与直线x＋9y＋5＝0垂直．

(1)求a，b的值；

(2)若函数f(x)在区间[m－1，m＋1]上单调递增，求实数m的取值范围．

【回答】

解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2，

∴f′(x)＝3ax2＋2bx.

由已知得即

∴a＝1，b＝3.

(2)由(1)知f(x)＝x3＋3x2，

∴f′(x)＝3x(x＋2)．

令f′(x)>0，解得x≤－2或x≥0，

∴f(x)在区间(－∞，－2)和[0，＋∞)上单调递增．若f(x)在[m－1，m＋1]上单调递增，

则[m－1，m＋1]⊆(－∞，－2)或[m－1，m＋1]⊆[0，＋∞)，

∴m＋1≤－2或m－1≥0.

∴m≤－3或m≥1.

∴m的取值范围是m≤－3或m≥1.

知识点：导数及其应用

题型：解答题