已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))...

问题详情：

已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．

(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)求f(x)的单调区间．

【回答】

解：　(1)当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，

f′(x)＝－1＋2x.

由于f(1)＝ln 2，f′(1)＝，

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为

y－ln 2＝(x－1)，即3x－2y＋2ln 2－3＝0.

(2)f′(x)＝，x∈(－1，＋∞)．

当k＝0时，f′(x)＝－

所以，在区间(－1,0)上，f′(x)>0；

在区间(0，＋∞)上，f′(x)<0.

故f(x)的单调递增区间是(－1,0)，

单调递减区间是(0，＋∞)．

当0<k<1时，由f′(x)＝＝0，

得x1＝0，x2＝>0.

所以，在区间(－1,0)和(，＋∞)上，f′(x)>0；

在区间(0，)上，f′(x)<0.

故f(x)的单调递增区间是(－1,0)和(，＋∞)，

单调递减区间是(0，)．

当k＝1时，f′(x)＝

故f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)．

当k>1时，由f′(x)＝＝0，

得x1＝∈(－1,0)，x2＝0.

所以，在区间(－1，)和(0，＋∞)上，f′(x)>0；

在区间(，0)上，f′(x)<0.

故f(x)的单调递增区间是(－1，)和(0，＋∞)，

单调递减区间是(，0)．

知识点：基本初等函数I

题型：解答题