设f(x)＝x3＋mx2＋nx.(1)如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2处取得最小值－5，求f(x)...

问题详情：

设f(x)＝x3＋mx2＋nx.

(1)如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式；

(2)如果m＋n<10(m，n∈N*)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．(注：区间(a，b)的长度为b－a)．

【回答】

解析　(1)由题得g(x)＝x2＋2(m－1)x＋(n－3)＝(x＋m－1)2＋(n－3)－(m－1)2，已知g(x)在x＝－2处取得最小值－5，

所以即m＝3，n＝2.

即得所要求的解析式为f(x)＝x3＋3x2＋2x.

(2)因为f′(x)＝x2＋2mx＋n，且f(x)的单调递减区间的长度为正整数，故f′(x)＝0一定有两个不同的根，

从而Δ＝4m2－4n>0，即m2>n.

不妨设为x1，x2，则|x2－x1|＝2为正整数．

故m≥2时才可能有符合条件的m，n，

当m＝2时，只有n＝3符合要求，

当m＝3时，只有n＝5符合要求，

当m≥4时，没有符合要求的n.

综上所述，只有m＝2，n＝3或m＝3，n＝5满足上述要求．

知识点：导数及其应用

题型：解答题