设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f...

问题详情：

设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.

(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；

(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

【回答】

解：(1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，

因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，

即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，

所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－，

即m的最大值为－.

(2)因为当x＜1时，f′(x)＞0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.

所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a，

当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a，

故当f(2)＞0或f(1)＜0时，方程f(x)＝0仅有一个实根．

解得a＜2或a＞.

知识点：导数及其应用

题型：解答题