已知函数f(x)＝mex(x＋1)(m≠0)；g(x)＝lnx－ax－a2－3a＋1。(1)若f(x)在(0，...

问题详情：

已知函数f(x)＝mex(x＋1)(m≠0)；g(x)＝lnx－ax－a2－3a＋1。

(1)若f(x)在(0，m)处的切线的方程为y＝－8x－4，求此时f(x)的最值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，a∈[－1，0)，不等式g(x)>f(a)恒成立，求实数m的取值范围。

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

【回答】

解：(1)f(x)=mex(x+2)  令x=0得： f(0)=2m   由题意：2m=-8    ∴m=-4

f(x)=-4 ex(x+2)   由f(x)>0得：x<-2, 由f(x)<0得：x>-2

∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增；在(-2,+∞)上单调递减

∴fmax(x)=f(-2)=,无最小值；

(2) g(x)>f(a) lnx-ax-a2-3a+1> mea(a+1)  lnx-ax> mea(a+1) +a2+3a-1

(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1

令φ(x)= lnx-ax    ∵a∈[-1,0)   ∴φ(x)= lnx-ax在[1,+∞)上单调递增   φmin(x)=φ(1)=-a

∴(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1-a> mea(a+1) +a2+3a-1 mea(a+1) +a2+4a-1<0

令h(a)= mea(a+1) +a2+4a-1, a∈[-1,0)

①    

当-m2即m≥-2时，h(a)>0,∴h(a)在[-1,0)上单调递增，若使h(a)<0恒成立，只需h(0)0

m1    ∴m∈[-2,0)∪(0,1]

②当-m≥2e即m-2e时, h(a)0  ∴h(a)在[-1,0)上单调递减，若使h(a)<0恒成立，只需h(-1)0   即-4<0   m-2e合题意；

∴-2e<m<-2  合题意

综上，m的取值范围为(-∞,0)∪(0,1]

法二：离参法

①若a=-1，则-4<0恒成立，m≠0合题意；

∵a∈(-1,0)    ∴t(a)>0    t(a)在(-1,0)上单调递增

由题意：-mt(0)=-1    即m1   又∵m≠0

∴m的取值范围为(-∞,0)∪(0,1]

知识点：基本初等函数I

题型：解答题