已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(...

问题详情：

已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.

(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

(2)若a＝－1，求f(x)的单调区间．

【回答】

[解]　f′(x)＝(ax＋2a＋1)xex.

(1)若a＝1，则f′(x)＝(x＋3)xex，f(x)＝(x2＋x－1)ex，

所以f′(1)＝4e，f(1)＝e.

所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.

(2)若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)xex.

令f′(x)＝0解x1＝－1，x2＝0.

当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0；

当x∈(－1,0)时，f′(x)＞0；

当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0；

所以f(x)的增区间为(－1,0)，减区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．

知识点：导数及其应用

题型：解答题