已知e是自然对数的底数,实数a是常数,函数f(x)=ex-ax-1的定义域为(0,+∞).(1)设a=e,求函...
问题详情:
已知e是自然对数的底数,实数a是常数,函数f(x)=ex-ax-1的定义域为(0,+∞). (1)设a=e,求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程; (2)判断函数f(x)的单调*.
【回答】
(1)解:∵a=e,∴f(x)=ex-ex-1,f′(x)=ex-e,f(1)=-1,f′(1)=0.∴当a=e时,函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=-1. (2)解:∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a. 易知f′(x)=ex-a在(0,+∞)上单调递增. ∴当a≤1时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>1时,由f′(x)=ex-a=0,得x=lna, ∴当0<x<lna时,f′(x)<0,当x>lna时,f′(x)>0, ∴f(x)在(0,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增. 综上,当a≤1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>1时,f(x)在(0,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题