已知函数f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直...

问题详情：

已知函数f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直．求a的值和切线l的方程．

【回答】

解：因为f(x)＝x3－2x2＋ax，

所以f′(x)＝x2－4x＋a.

由题意可知，方程f′(x)＝x2－4x＋a＝－1有两个相等的实根．所以Δ＝16－4(a＋1)＝0，所以a＝3.

所以f′(x)＝x2－4x＋3＝－1可化为x2－4x＋4＝0.

解得切点横坐标为x＝2，

所以f(2)＝×8－2×4＋2×3＝，

所以切线l的方程为y－＝(－1)×(x－2)，即3x＋3y－8＝0.

所以a＝3，切线l的方程为3x＋3y－8＝0.

知识点：导数及其应用

题型：解答题