已知函数,k≠0.(Ⅰ)当k=2时,求函数f(x)切线斜率中的最大值;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=k有解,求...
问题详情:
已知函数,k≠0.
(Ⅰ)当k=2时,求函数f(x)切线斜率中的最大值;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=k有解,求实数k的取值范围.
【回答】
【考点】6K:导数在最大值、最小值问题中的应用;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(Ⅰ)求出函数的定义域,导数,推出切线的斜率,然后求解函数f(x)切线斜率中的最大值;
(Ⅱ)关于x的方程f(x)=k有解,令,则问题等价于函数g(x)存在零点,
求出.通过当k<0时,当k>0时,判断函数的单调*以及求解函数的最值,推出结果即可.
【解答】解:(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞).
当k=2时,,
所以函数f(x)切线斜率的最大值为1.
(Ⅱ)因为关于x的方程f(x)=k有解,
令,则问题等价于函数g(x)存在零点,
所以.
当k<0时,g′(x)<0对(0,+∞)成立,
函数g(x)在(0,+∞)上单调递减.
而g(1)=1﹣k>0, =,
所以函数g(x)存在零点.
当k>0时,令g′(x)=0,得.
g′(x),g(x)随x的变化情况如下表:
x | (0,) | (,+∞) | |
g'(x) | ﹣ | 0 | + |
g(x) | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以为函数g(x)的最小值,
当时,即0<k<1时,函数g(x)没有零点,
当时,即k≥1时,注意到,
所以函数g(x)存在零点.
综上,当k<0或k≥1时,关于x的方程f(x)=k有解.
知识点:导数及其应用
题型:解答题