如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．（1）求*：...

问题详情：

如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．

（1）求*：△ADC≌△ECD；

（2）若BD=CD，求*：四边形ADCE是矩形．

【回答】

【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与*质；等腰三角形的*质；平行四边形的*质．

【分析】（1）根据平行四边形的*质、等腰三角形的*质，利用全等三角形的判定定理SAS可以*得△ADC≌△ECD；

（2）利用等腰三角形的“三合一”*质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）*得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．

【解答】*：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），

∴AB∥DE，AB=DE（平行四边形的对边平行且相等）；

∴∠B=∠EDC（两直线平行，同位角相等）；

又∵AB=AC（已知），

∴AC=DE（等量代换），∠B=∠ACB（等边对等角），

∴∠EDC=∠ACD（等量代换）；

∵在△ADC和△ECD中，

，

∴△ADC≌△ECD（SAS）；

（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），

∴BD∥AE，BD=AE（平行四边形的对边平行且相等），

∴AE∥CD；

又∵BD=CD，

∴AE=CD（等量代换），

∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；

在△ABC中，AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”*质），

∴∠ADC=90°，

∴▱ADCE是矩形．

【点评】本题综合考查了平行四边形的判定与*质、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的‘平行四边形’是矩形”，而不是“有一个角是直角的‘四边形’是矩形”．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题