(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.填空:①∠AEB的...
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(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
填空:
①∠AEB的度数为 ;
②线段AD,BE之间的数量关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,在正方形ABCD中,CD=,若点P满足PD=1,且∠BPD=90°,请直接写出点A到BP的距离.
【回答】
【分析】(1)由条件易*△ACD≌△BCE,从而得到:AD=BE,∠ADC=∠BEC.由点A,D,E在同一直线上可求出∠ADC,从而可以求出∠AEB的度数.
(2)仿照(1)中的解法可求出∠AEB的度数,*出AD=BE;由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME,从而*到AE=2CH+BE.
(3)由PD=1可得:点P在以点D为圆心,1为半径的圆上;由∠BPD=90°可得:点P在以BD为直径的圆上.显然,点P是这两个圆的交点,由于两圆有两个交点,接下来需对两个位置分别进行讨论.然后,添加适当的辅助线,借助于(2)中的结论即可解决问题.
【解答】解:(1)①如图1,
∵△ACB和△DCE均为等边三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等边三角形,
∴∠CDE=∠CED=60°.
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠ADC=120°.
∴∠BEC=120°.
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°.
故*为:60°.
②∵△ACD≌△BCE,
∴AD=BE.
故*为:AD=BE.
(2)∠AEB=90°,AE=BE+2CM.
理由:如图2,
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形,
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠ADC=135°.
∴∠BEC=135°.
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°.
∵CD=CE,CM⊥DE,
∴DM=ME.
∵∠DCE=90°,
∴DM=ME=CM.
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
(3)点A到BP的距离为或.
理由如下:
∵PD=1,
∴点P在以点D为圆心,1为半径的圆上.
∵∠BPD=90°,
∴点P在以BD为直径的圆上.
∴点P是这两圆的交点.
①当点P在如图3①所示位置时,
连接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足为H,
过点A作AE⊥AP,交BP于点E,如图3①.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADB=45°.AB=AD=DC=BC=,∠BAD=90°.
∴BD=2.
∵DP=1,
∴BP=.
∵∠BPD=∠BAD=90°,
∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上,
∴∠APB=∠ADB=45°.
∴△PAE是等腰直角三角形.
又∵△BAD是等腰直角三角形,点B、E、P共线,AH⊥BP,
∴由(2)中的结论可得:BP=2AH+PD.
∴=2AH+1.
∴AH=.
②当点P在如图3②所示位置时,
连接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足为H,
过点A作AE⊥AP,交PB的延长线于点E,如图3②.
同理可得:BP=2AH﹣PD.
∴=2AH﹣1.
∴AH=.
综上所述:点A到BP的距离为或.
【点评】本题考查了等边三角形的*质、正方形的*质、等腰三角形的*质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与*质等知识,考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力,是体现新课程理念的一道好题.而通过添加适当的辅助线从而能用(2)中的结论解决问题是解决第(3)的关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:综合题