【问题探究】（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一...

问题详情：

【问题探究】

（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．

①请探究AD与BD之间的位置关系：　   　；

②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，则线段AD的长为　   　；

【拓展延伸】

（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．

【回答】

解：【问题探究】

（1）∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，

∴AC＝BC，CE＝CD，∠ABC＝∠DEC＝45°＝∠CDE

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，CE＝CD

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠ADC＝∠BEC＝45°

∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°

∴AD⊥BD

故*为：AD⊥BD

②如图，过点C作CF⊥AD于点F，

∵∠ADC＝45°，CF⊥AD，CD＝

∴DF＝CF＝1

∴AF＝＝3

∴AD＝AF+DF＝4

故*为：4

【拓展延伸】

（2）若点D在BC右侧，

如图，过点C作CF⊥AD于点F，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD∽△BCE

∴∠ADC＝∠BEC，

∵CD＝，CE＝1

∴DE＝＝2

∵∠ADC＝∠BEC，∠DCE＝∠CFD＝90°

∴△DCE∽△CFD，

∴

即

∴CF＝，DF＝

∴AF＝＝

∴AD＝DF+AF＝3

若点D在BC左侧，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD∽△BCE

∴∠ADC＝∠BEC，

∴∠CED＝∠CDF

∵CD＝，CE＝1

∴DE＝＝2

∵∠CED＝∠CDF，∠DCE＝∠CFD＝90°

∴△DCE∽△CFD，

∴

即

∴CF＝，DF＝

∴AF＝＝

∴AD＝AF﹣DF＝2

知识点：勾股定理

题型：解答题