【问题发现】 如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,若B,D,E在同一直线上,连接AE.(1)请...
问题详情:
【问题发现】
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,若B,D,E在同一直线上,连接AE.
(1)请你在图中找出一个与△AEC全等的三角形: ;
(2)∠AEB的度数为 ;CE,AE,BE的数量关系为 .
【拓展探究】
如图2,△ACB是等腰直角三角形,∠AEB=90°,连接CE,过点C作CD⊥CE,交BE于点D,试探究CE,AE,BE的数量关系,并说明理由.
【解决问题】
如图3,在正方形ABCD中,CD=5,点P为正方形ABCD外一点,∠APC=90°,且AP=6,试求点P到CD的距离.
【回答】
【考点】LO:四边形综合题.
【分析】【问题发现】(1)根据等边三角形的*质、全等三角形的判定定理*△AEC≌△BDC;
(2)根据△AEC≌△BDC,得到∠AEC=∠CDB=120°,计算即可;
【拓展探究】*△AEC≌△BDC,得到△ECD是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的*质计算;
【解决问题】分点P在AD上方、点P在AB的左侧两种情况,根据相似三角形的*质计算.
【解答】解:【问题发现】(1)△AEC≌△BDC,
*:∵△ACB和△DCE均为等边三角形,
∴∠ECD=∠ACB=60°,
∴∠ECA=∠DCB,
在△AEC和△BDC中,
,
∴△AEC≌△BDC,
故*为:△BDC;
(2)∠CDB=180°﹣∠CDE=120°,
∵△AEC≌△BDC,
∴∠AEC=∠CDB=120°,AE=BD,
∴∠AEB=60°,
BE=DE+BD=CE+AE;
故*为:60°;CE+AE=BE;
【拓展探究】∵CD⊥CE,∠ACB=90°,
∴∠ECA=∠DCB,
∵∠AEB=90°,∠ACB=90°,
∴A、E、C、B四点共圆,
∴∠EAC=∠DBC,
在△AEC和△BDC中,
,
∴△AEC≌△BDC,
∴AE=BD,CE=CD,
∴△ECD是等腰直角三角形,
∴ED=CE,
∴BE=DE+BD=CE+AE;
【解决问题】当点P在AD上方时,连接AC、PD,作PH⊥CD交AD的延长线于H,
∵AD=5,
∴AC=10,
则PC==8,
由拓展探究可知,PD==,
∵PH∥AD,
∴∠DPH=∠ADP,
∴∠DPH=∠ACP,
∴PH=PD×=;
当点P在AB的左侧时,同理PH=.
知识点:勾股定理
题型:综合题