如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°.(1)如图1,连接BE,CD...
问题详情:
如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°.
(1)如图1,连接BE,CD,BE的廷长线交AC于点F,交CD于点P,求*:BP⊥CD;
(2)如图2,把△ADE绕点A顺时针旋转,当点D落在AB上时,连接BE,CD,CD的延长线交BE于点P,若BC=6,AD=3,求△PDE的面积.
【回答】
【分析】(1)根据等腰直角三角形的*质得到AD=AE,AB=AC,∠BAC﹣∠EAF=∠EAD﹣∠EAF,求得∠BAE=∠DAC,根据全等三角形的*质得到∠ABE=∠ACD,根据余角的*质即可得到结论;
(2)根据全等三角形的*质得到∠ABE=∠ACD,BE=CD,求得∠EPD=90°,得到DE=3,AB=6,求得BD=6﹣3=3,CD==3,根据相似三角形的*质得到PD=,PB=根据三角形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:(1)∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°.
∴AD=AE,AB=AC,∠BAC﹣∠EAF=∠EAD﹣∠EAF,
即∠BAE=∠DAC,
在△ABE与△ADC中,,
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴∠ABE=∠ACD,
∵∠ABE+∠AFB=∠ABE+∠CFP=90°,
∴∠CPF=90°,
∴BP⊥CD;
(2)在△ABE与△ACD中,,
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴∠ABE=∠ACD,BE=CD,
∵∠PDB=∠ADC,
∴∠BPD=∠CAB=90°,
∴∠EPD=90°,
∵BC=6,AD=3,
∴DE=3,AB=6,
∴BD=6﹣3=3,CD==3,
∵△BDP∽△CDA,
∴==,
∴==,
∴PD=,PB=
∴PE=3﹣=,
∴△PDE的面积=××=.
【点评】本题考查了旋转的*质,全等三角形的判定和*质,相似三角形的判定和*质,勾股定理,等腰直角三角形的*质.熟练掌握旋转的*质是解题的关键.
知识点:各地中考
题型:综合题