如图①，两个全等的等腰直角△ABC和△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，点A与点E重合，点D与点B重合．现...

问题详情：

如图①，两个全等的等腰直角△ABC和△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，点A与点E重合，点D与点B重合．现△ABC不动，把△EDC绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．

（1）如图②，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．求*：CF=CH；

（2）如图③，当α=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形，并说明理由；

（3）如图②，在△EDC绕点C旋转的过程中，连接BD，当旋转角α的度数为　   　时，△BDH是等腰三角形．

【回答】

（1）*：∵△ABC和△EDC是全等的等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=∠E=∠D=45°，CA=CB=CE=CD，

∵△ABC不动，把△EDC绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α，

∴CA=CD，∠A=∠D，∠ACE=∠BCD=α，

在△CAF和△CDH中

，

∴△CAF≌△CDH，

∴CF=CH；  

（2）解：四边形ACDM是菱形．理由如下：

∵∠ACE=∠BCD=45°，

而∠A=45°，

∴∠AFC=90°，

而∠FCD=90°，

∴AB∥CD，

同理可得AC∥DE，

∴四边形ACDM是平行四边形，

而CA=CD，

∴四边形ACDM是菱形；

（3）解：∵CB=CD，∠BCD=α，

∴∠CBD=∠CDB=（180°﹣α），

∴∠HBD＞∠BDH，

∴当DB=DH或BH=BD时，△BDH是等腰三角形，

∵∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°，

当DB=DH，则∠HBD=∠BHD，即（180°﹣α）=α+45°，解得α=30°；

当BH=BD，则∠BHD=∠BDH，即α+45°=（180°﹣α）﹣45°，解得α=0（舍去），

∴α=30°，

即当旋转角α的度数为30°时，△BDH是等腰三角形．

故*为30°．

知识点：中心对称

题型：解答题