如图①,等腰Rt△ABC中,∠C=90o,D是AB的中点,Rt△DEF的两条直角边DE、DF分别与AC、BC相...
问题详情:
如图①,等腰Rt△ABC中,∠C=90o,D是AB的中点,Rt△DEF的两条直角边DE、DF分别与AC、BC相交于点M、N.
(1)思考推*:CM+CN=BC;
(2)探究*:如图②,若EF经过点C,AE⊥AB,判断线段MA、ME、MC、DN四条线段之间的数量关系,并*你的结论;
(3)拓展应用:如图③,在②的条件下,若AB=4,AE=1,Q为线段DB上一点,DQ=,QN的延长线交EF于点P,求线段PQ的长.
【回答】
【解析】(1)*:连接CD,
∵∠ACB=90º,CA=CB,AD=DB,∴CD=AD=DB=AB,
∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45º,CD⊥AB,
∴∠CDN+∠BDN=90º,
∵∠EDF=90º,∴∠CDN+CDM=90º,∴∠BDN=∠CDM,
∴△BDN≌△CDM, ∴BN=CM,
∴ BC=BN+CN=CM+CN;
(2)∵AE⊥AB,CD⊥AB,∴AE∥CD
∴△AEM∽△CDM,∴,
∵△BDN≌△CDM,∴DN=DM,
∴,即;
(3)∵∠EDF=90º,∴∠NDQ+∠ADE=90º
∵EA⊥AD,∴∠AED+∠ADE=90º ,∴∠AED=∠NDQ
而AE=1,AD=CD=DB=AB=2,∴ED=
∵△AEM∽△CDM,∴,∴DM=DN=ED=,
而DQ=,∴,
∴△AED∽△QDN,
过点E作EH⊥CD于点H,∴DH=AE=1,EH=AD=2,∴CH=2-1=1,
∴EC=,∴EC=ED,∴∠ECD=∠EDC=∠AEM,
∵PQ⊥AB,∴∠B=∠BNQ=∠PNC=45º,
而∠PCN+∠NCD+∠ECD=∠EMA+∠AEM+∠EAM=180º,
∠PCN=∠AME,而∠EAM=∠PNC=45º,CN=AM,
∴△PNC≌△EAM,∴PN=AE=1,
∴.
知识点:相似三角形
题型:解答题