如图，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，点C、D、E在同一条直线上，连接BD...

问题详情：

如图，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，点C、D、E在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）．其中，结论正确的个数是(     )

A．4       B．3       C．2       D．1

【回答】

B【考点】全等三角形的判定与*质；等腰直角三角形．

【分析】①由条件*△ABD≌△ACE，就可以得到结论；

②由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠ABD=∠ACE就可以得出结论；

③由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°，进而得出结论；

④△BDE为直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2=2AD2，BC2=2AB2，就有BC2=BD2+CD2≠BD2就可以得出结论．

【解答】解：如图：

①∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，

即∠BAD=∠CAE．

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，∴①正确；

②∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ABD+∠DBC=45°．

∴∠ACE+∠DBC=45°，∴②正确；

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD=∠ACE．

∵∠CAB=90°，

∴∠ABD+∠AFB=90°，

∴∠ACE+∠AFB=90°．

∵∠DFC=∠AFB，

∴∠ACE+∠DFC=90°，

∴∠FDC=90°．

∴BD⊥CE，∴③正确；

④∵BD⊥CE，

∴BE2=BD2+DE2，

∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，

∴DE2=2AD2，BC2=2AB2，

∵BC2=BD2+CD2≠BD2，

∴2AB2=BD2+CD2≠BD2，

∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④错误．

故选B．

【点评】本题考查了全等三角形的判定及*质的运用，垂直的判定及*质的运用，等腰直角三角形的*质的运用，勾股定理的运用，解答时运用全等三角形的*质求解是关键．

知识点：三角形全等的判定

题型：选择题