在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD...
问题详情：
在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．
（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2
，求AB的长；
（2）如图2，作EG⊥AB，求*：AD＝
BE；
（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．
【回答】
（1）AB＝3
；（2）*见解析；（3）
．
【解析】
（1）求出∠BAE＝15°，∠CBA＝45°，过点A作AN⊥BC于点N，则△ABN为等腰直角三角形，求出AN的长，则AB的长可求出；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，设∠EAB＝α，得出AM＝DM＝
AD，AC＝CD＝AE，*△ACM≌△EAG（AAS），得出EG＝AM，*出△EBG为等腰直角三角形，可得出BE＝
EG＝
AM＝
AD．则结论得*．
（3）过点F作FH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，设BD＝a，由（2）可知DE＝a，AD＝2a，AM＝DM＝a，*出BE＝CE＝
a，求出BF＝
a．则可得出*．
【详解】
解：（1）∵△ACE为等边三角形，
∴∠CAE＝∠ACB＝∠CEA＝60°，
∵∠CAE+2∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝15°，
∴∠CBA＝∠CEA﹣∠BAE＝60°﹣15°＝45°，
如图，过点A作AN⊥BC于点N，
∴△ABN为等腰直角三角形，
在等边△ACE中，AN＝sin60°•AE＝
＝3，
∴AB＝
AN＝3
．
（2）*：如图，过点C作CM⊥AB于点M，设∠EAB＝α，
∵∠CAE+2∠BAE＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣2α，
∵AE⊥CD，
∴∠ACD＝2α，
∴∠CAB＝90°﹣2α+α＝90°﹣α，
∴∠ACM＝α，
∴CM平分∠ACD，
∴AM＝DM＝
AD，AC＝CD＝AE，
在△ACM和△EAG中，
，
∴△ACM≌△EAG（AAS），
∴EG＝AM，
∴AD＝2AM＝2EG，
∵AC＝AE，∠CAE＝90°﹣2α，
∴∠CEA＝45°+α，
又∵∠CEA＝∠B+∠EAG，
∴∠B＝45°，
∵EG⊥AB，
∴△EBG为等腰直角三角形，
∴BE＝
EG＝
AM＝
AD．
∴AD＝
BE．
（3）如图，BF与EC之间的数量关系为
．
过点F作FH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，
设BD＝a，由（2）可知DE＝a，AD＝2a，AM＝DM＝a，
∵DE∥CM，BD＝DM，
∴BE＝CE＝
a，
∵DE＝a，AD＝2a，∠ADE＝90°，
∴AE＝
＝
a，
∵CD⊥AE，DE⊥AB，
∴∠EFD＝∠ADE＝90°
∴∠EDF＝∠DAE，
∴△DEF∽△AED，
∴
，
∴
，
∴EF＝
a，
∴AF＝
a﹣
a＝
a，
∴
，
∴
．
∵FH∥DE，
∴△AFH∽△AED，
∴
，
∴FH＝
a，
∴DH＝2a﹣
a＝
a，
∴BH＝a+
a，
∴BF＝
＝
a．
∴
=
．
即BF与EC之间的数量关系为
．
【点睛】
本题是图形综合题，涉及特殊三角形的*质，全等三角形的*质和判定，相似三角形的*质和判定，锐角三角函数的运用，解题的关键是针对每一小问的条件构造合适的辅助线利用图形的*质和判定去*．
知识点：三角形全等的判定
题型：解答题
