已知函数在点处的切线是.(1)求函数的极值；(2)当恒成立时，求实数的取值范围(为自然对数的底数).
问题详情：
已知函数
在点
处的切线是
.
(1)求函数
的极值；
(2)当
恒成立时，求实数
的取值范围(
为自然对数的底数).
【回答】
【解析】（Ⅰ）因为
，所以
，
因为点
处的切线是
，所以
，且
所以
，即
（
）
所以
，所以在
上递增，在
上递减
所以
的极大值为
，无极小值.
（Ⅱ）当
在
恒成立时, 由（Ⅰ）
，
即
在
恒成立，
【法一】设
，则
，
，
又因为
，所以当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
.
所以
均在
处取得最值，所以要使
恒成立，
只需
，即
，解得
，又
，
所以实数
的取值范围是
.
【法二】设
（
），则
当
时，
，
，则
，
，即
当
时，
，
，则
，
，即
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以
，即
，又
所以实数
的取值范围是
.
知识点：基本初等函数I
题型：解答题
