已知函数在处取得极值.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.

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问题详情：

已知函数在处取得极值.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.

【回答】

（1）f'（x）=ex+xex+2ax+2，

∵f（x）在处取得极值， ∴f'（-1）=0，解得a=1．经检验a=1适合，

∴f（x）=xex+x2+2x+1，f'（x）=（x+1）（ex+2），

当x∈（-∞，-1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）递减；

当x∈（-1+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）递增．

（2）函数y=f（x）-m-1在[-2，2]上恰有两个不同的零点，

等价于xex+x2+2x-m=0在[-2，2]上恰有两个不同的实根，

等价于xex+x2+2x=m在[-2，2]上恰有两个不同的实根．

令g（x）=xex+x2+2x，∴g'（x）=（x+1）（ex+2），

由（1）知g（x）在（-∞，-1）递减；在（-1，+∞）递增．

g（x）在[-2，2]上的极小值也是最小值；．又，g（2）=8+2e2＞g（-2）， ∴，即．

知识点：导数及其应用

题型：解答题

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