已知函数.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.(Ⅲ)求*:(,是自然对数...
问题详情:
已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数 的单调区间;
(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅲ)求*:(,是自然对数的底数).
【回答】
解:(Ⅰ)当时,,
由解得,由解得,
故函数的单调递增区间为,单调递减区间为
(Ⅱ)因当时,不等式恒成立,即恒成立,设
,只需即可.
由,
(ⅰ)当时,,当时,,函数在上单调递减,
故成立;
(ⅱ)当时,由,因,所以,
①若,即时,在区间上,,则函数在上单调递增,在上无最大值(或:当时,),此时不满足条件;
②若,即时,函数在上单调递减,在区间上单调递增,同样在上无最大值,不满足条件;
(ⅲ)当时,由,∵,∴,
∴,故函数在上单调递减,故成立.
综上所述,实数的取值范围是.
(Ⅲ)据(Ⅱ)知当时,在上恒成立,又,
∵
,
∴.
知识点:导数及其应用
题型:解答题