如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,O是AB边上的一点,以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E.(1)若A...
问题详情:
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,O是AB边上的一点,以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E.
(1)若AC=5,BC=13,求⊙O的半径;
(2)过点E作弦EF⊥AB于M,连接AF,若∠F=2∠B,求*:四边形ACEF是菱形.
(导学号 02052449)
【回答】
解:(1)如图,连接OE,设圆O半径为r,
在Rt△ABC中,BC=13,AC=5,
根据勾股定理得:AB==12,
∵BC与⊙O相切,切点为E,∴OE⊥BC,
∴∠OEB=∠BAC=90°,
∵∠B=∠B,∴△BOE∽△BCA,∴=,即=,
解得:r=;
(2)∵=,∠F=2∠B,
∴∠AOE=2∠F=4∠B,
∵∠AOE=∠OEB+∠B,
∴∠B=30°,∠F=60°,
∵EF⊥AD,∴∠EMB=∠CAB=90°,
∴∠MEB=∠F=60°,CA∥EF,∴CB∥AF,
∴四边形ACEF为平行四边形,
∵∠CAB=90°,OA为半径,∴CA为圆O的切线,
∵BC为圆O的切线,∴CA=CE,
∴平行四边形ACEF为菱形
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题