如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD.(1)求*：∠A＝∠BCD...

问题详情：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD.

(1)求*：∠A＝∠BCD；

(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．

【回答】

解：(1)*：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.

∴∠A＝90°－∠ACD.

又∵∠ACB＝90°，

∴∠BCD＝90°－∠ACD.

∴∠A＝∠BCD.

(2)点M为线段BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由如下：

连接OD，作DM⊥OD，交BC于点M，则DM为⊙O的切线．

∵∠ACB＝90°，∴∠B＝90°－∠A，BC为⊙O的切线．

由切线长定理，得DM＝CM.

∴∠MDC＝∠BCD.

由(1)可知∠A＝∠BCD，CD⊥AB.

∴∠BDM＝90°－∠MDC＝90°－∠BCD.

∴∠B＝∠BDM.∴DM＝BM.

∴CM＝BM，

即点M为线段BC的中点．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题