如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O,点D为⊙O上一点,且CD=CB、连接DO并延长交C...
问题详情:
如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O,点D为⊙O上一点,且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BE=4,DE=8,求AC的长.
【回答】
(1)相切,*见解析;(2)6.
【分析】
(1)欲*CD是切线,只要*OD⊥CD,利用全等三角形的*质即可*;
(2)设⊙O的半径为r.在Rt△OBE中,根据OE2=EB2+OB2,可得(8﹣r)2=r2+42,推出r=3,由tan∠E=,推出,可得CD=BC=6,再利用勾股定理即可解决问题.
【详解】
解:(1)相切,理由如下,
如图,连接OC,
∵CB=CD,CO=CO,OB=OD,
∴△OCB≌△OCD,
∴∠ODC=∠OBC=90°,
∴OD⊥DC,
∴DC是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为r,
在Rt△OBE中,∵OE2=EB2+OB2,
∴(8﹣r)2=r2+42,
∴r=3,AB=2r=6,
∵tan∠E=,
∴,
∴CD=BC=6,
在Rt△ABC中,AC=.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题