如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O...

问题详情：

如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．

（1）*：∠E=∠C；

（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；

（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是弧AB的中点，求EG•ED的值．

【回答】

（1）见解析；（2）∠BDF=110°；（3）18

【分析】

（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，劲儿利用线段垂直平分线的*质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；

（2）利用圆内接四边形的*质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出*；

（3）根据cosB=，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出*即可．

【详解】

解：（1）*：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

即AD⊥BC，

∵CD=BD，

∴AD垂直平分BC，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠B=∠E，

∴∠E=∠C；

（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，

∴∠AFD=180°﹣∠E，

又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，

∴∠CFD=∠E=55°，

又∵∠E=∠C=55°，

∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；

（3）解：连接OE，

∵∠CFD=∠E=∠C，

∴FD=CD=BD=4，

在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，

∴AB=6，

∵E是的中点，AB是⊙O的直径，

∵∠AOE=90°，且AO=OE=3，

∴AE=，

∵E是的中点，

∴∠ADE=∠EAB，

∴△AEG∽△DEA，

∴，

即EG•ED==18．

【点睛】

此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与*质以及圆内接四边形的*质等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键．

知识点：正多边形和圆

题型：解答题