如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AB相切于点P．（1）求*：BP平...

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如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AB相切于点P．

（1）求*：BP平分∠ABC；

（2）若PC=1，AP=3，求BC的长．

【回答】

（1）*：连接OP， ∵AC是⊙O的切线， ∴OP⊥AC，BC⊥AC， ∴OP∥BC， ∴∠OPB=∠PBC， ∵OP=OB， ∴∠OPB=∠OBP， ∴∠PBC=∠OBP， ∴BP平分∠ABC （2）作PH⊥AB于H． ∵PB平分∠ABC，PC⊥BC，PH⊥AB， ∴PC=PH=1，在Rt△APH中，AH= =2 ， ∵∠A=∠A，∠AHP=∠C=90°， ∴△APH∽△ABC， ∴ = ， ∴ = ， ∴AB=3 ， ∴BH=AB﹣AH= ，在Rt△PBC和Rt△PBH中，， ∴Rt△PBC≌Rt△PBH， ∴BC=BH= ．【考点】全等三角形的判定与*质，角平分线的*质，勾股定理，切线的*质，相似三角形的判定与*质【解析】【分析】（1）根据切线的*质易*OP∥BC，由平行线的*质定理得∠OPB=∠PBC，由等边对等角得∠OPB=∠OBP，进而∠PBC=∠OBP，即BP平分∠ABC；（2）作PH⊥AB于H．由角平分线的*质定理得PC=PH=1，在Rt△APH中由勾股定理得AH得长度，进而判断出△APH∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例得出AB的长，进而得出BH的长，再*出Rt△PBC≌Rt△PBH，由全等三角形对应边成比例就可以得出结论。