如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,点P是圆外一点,PA切⊙O于点A,且PA=PB.(1)求*...
问题详情:
如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,点P是圆外一点,PA切⊙O于点A,且PA=PB.
(1)求*:PB是⊙O的切线;
(2)已知PA=,BC=1,求⊙O的半径.
【回答】
(1)*:连结OB.
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.
∵PA=PB,∴∠PAB=∠PBA.
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA,即∠PAO=∠PBO………………………2分
又∵PA是⊙O的切线,∴∠PAO=90°,
∴∠PBO=90°,∴OB⊥PB.………………………………………………4分
又∵OB是⊙O半径,∴PB是⊙O的切线.……………………………………5分
(2)解:连结OP,交AB于点D.
∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.
∵OA=OB,∴点O在线段AB的垂直平分线上.
∴OP垂直平分线段AB.…………………………………………………………7分
∴∠PAO=∠PDA=90°.
又∵∠APO=∠DPA,∴△APO∽△DPA.
∴,∴AP2=PO·DP.
又∵OD=BC=,∴ PO(PO-OD)=AP2
即:PO 2一PO=()2,解得PO=2. ………………………………9分
在Rt△APO中,OA= =1,即⊙O 的半径为l…………10分
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题