如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，...

问题详情：

如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB． （1）求*：PB是⊙O的切线； （2）求*：E为△PAB的内心； （3）若cos∠PAB=，BC=1，求PO的长．

【回答】

（1）*：连结OB， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∵AB⊥PO， ∴PO∥BC ∴∠AOP=∠C，∠POB=∠OBC， OB=OC， ∴∠OBC=∠C， ∴∠AOP=∠POB， 在△AOP和△BOP中， ， ∴△AOP≌△BOP（SAS）， ∴∠OBP=∠OAP， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP=90°， ∴∠OBP=90°， ∴PB是⊙O的切线； （2）*：连结AE， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠PAE+∠OAE=90°， ∵AD⊥ED， ∴∠EAD+∠AED=90°， ∵OE=OA， ∴∠OAE=∠AED， ∴∠PAE=∠DAE，即EA平分∠PAD， ∵PA、PD为⊙O的切线， ∴PD平分∠APB ∴E为△PAB的内心； （3）解：∵∠PAB+∠BAC=90°，∠C+∠BAC=90°， ∴∠PAB=∠C， ∴cos∠C=cos∠PAB=， 在Rt△ABC中，cos∠C===， ∴AC=，AO=， ∵△PAO∽△ABC， ∴， ∴PO===5． 【解析】

（1）连结OB，根据圆周角定理得到∠ABC=90°，*△AOP≌△BOP，得到∠OBP=∠OAP，根据切线的判定定理*； （2）连结AE，根据切线的*质定理得到∠PAE+∠OAE=90°，*EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念*即可； （3）根据余弦的定义求出OA，*△PAO∽△ABC，根据相似三角形的*质列出比例式，计算即可． 本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和*质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和*质定理是解题的关键．

知识点：各地中考

题型：解答题