如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，...

问题详情：

如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.

(1)求*：直线PA为⊙O的切线；

(2)求*：EF2＝4OD·OP；

(3)若BC＝6，tanF＝，求AC的长.

【回答】

（1）*：如解图，连接OB，

    第13题解图

∵PB是⊙O的切线，

∴∠PBO＝90°，

∵OA＝OB，BA⊥PO于点D，

∴AD＝BD，

∴点D为AB的中点，即OP垂直平分AB，

∴∠APO＝∠BPO，

∵∠ADP＝∠BDP＝90°，

∴△APD≌△BPD，

∴AP＝BP，

在△PAO和△PBO中，

，

∴△PAO≌△PBO（SAS），

∴∠PAO＝∠PBO＝90°，

∵OA为⊙O的半径，

∴直线PA为⊙O的切线；

(2)*：∵∠PAO＝∠PDA＝90°，

∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90°，

∴∠OAD＝∠OPA，

∴△OAD∽△OPA，

∴＝，即OA2＝OD·OP，

又∵EF＝2OA，

∴EF 2＝4OD·OP；

(3)解：∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，

∴OD＝BC＝3，

设AD＝x，

∴tanF＝＝＝，

∴DF＝2x，∴OA＝OF＝2x－3，

在Rt△AOD中，由勾股定理得

(2x－3)2＝x2＋32，解得x1＝4或x2＝0(不合题意，舍去)，

∴OA＝2x－3＝5，

∵AC为⊙O的直径，

∴AC＝2OA＝10.

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题