如图,PA为⊙O的切线,A为切点.过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D,与P...
问题详情:
如图,PA为⊙O的切线,A为切点.过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.
(1)求*:PB为⊙O的切线;(4分)
(2)若OC=1,AB=2,求图中*影部分的面积S;(3分)
(3)若,求sinE的值.(3分)
【回答】
解:(1)*:连接OA
∵PA为⊙O的切线,∴∠PAO=90°,
∵OA=OB,OP⊥AB于C,
∴BC=CA,PB=PA,∴△PBO≌△PAO
∴∠PBO=∠PAO=90°,∴PB为⊙O的切线.
(2) ∵OP⊥AB,∴BC=AC=,
在Rt△OBC中,由tan∠BOC=知,∠BOC=60°,则∠BOA=120°,OB=2,
BP=OB=2
∴S=S四边形OBPA﹣S扇形OBA==
(3) 解法1:连接AD,∵BD是直径,∠BAD=90°
由(1)知∠BCO=90°,∴AD∥OP,
∴△ADE∽△POE,∴EA/EP=AD/OP
由AD∥OC得AD=2OC,
∵tan∠ABE=1/2 , ∴OC/BC=1/2,
设OC=t,则BC=2t,AD=2t,
由△PBC∽△BOC,得PC=2BC=4t,OP=5t
∴EA/EP=AD/OP=2/5,…………………(9分)
可设EA=2m,EP=5m,则PA=3m
∵PA=PB∴PB=3m∴sinE=PB/EP=3/5.
解法2:连接AD,则∠BAD=90°,
由(1)知∠BCO=90°,∵由AD∥OC,∴AD=2OC
∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC=t,BC=2t,AB=4t
由△PBC∽△BOC,得PC=2BC=4t,∴PA=PB=2t
过A作AF⊥PB于F,则AF·PB=AB·PC∴AF=t,
由勾股定理得PF=t,
∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5.
知识点:相似三角形
题型:解答题