如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于...

问题详情：

如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．

（1）求*：AC平分∠DAB；

（2）求*：△PCF是等腰三角形；

（3）若AF＝6，EF＝2，求⊙O 的半径长．

【回答】

（1）*：∵PD为⊙O的切线，

∴OC⊥DP，

∵AD⊥DP，

∴OC∥AD，

∴∠DAC＝∠OCA，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠OAC＝∠DAC，

∴AC平分∠DAB；

（2）*：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE＝45°，

∴∠BOE＝2∠BCE＝90°，

∴∠OFE+∠OEF＝90°，

而∠OFE＝∠CFP，

∴∠CFP+∠OEF＝90°，

∵OC⊥PD，

∴∠OCP＝90°，即∠OCF+∠PCF＝90°，

而∠OCF＝∠OEF，

∴∠PCF＝∠CFP，

∴△PCF是等腰三角形；

（3）解：连结OE．

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝45°，

∴∠BOE＝90°，即OE⊥AB，

设⊙O 的半径为r，则OF＝6﹣r，

在Rt△EOF中，∵OE2+OF2＝EF2，

∴r2+（6﹣r）2＝（2）2，

解得，r1＝4，r2＝2，

当r1＝4时，OF＝6﹣r＝2（符合题意），

当r2＝2时，OF＝6﹣r＝4（不合题意，舍去），

∴⊙O的半径r＝4．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题