如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点．以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求*：DE是⊙...

问题详情：

 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点．以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求*：DE是⊙O的切线；

（2）若AE︰EB=1︰2，BC=6，求AE的长．

【回答】

*：（1）如图所示，连接OE，CE．

∵AC是⊙O的直径，

∴∠AEC=∠BEC=90°.

∵D是BC的中点，

∴ED=BC=DC．

∴∠1=∠2.

∵OE=OC，

∴∠3=∠4．

∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠ OED=∠ACD．

∵∠ACD=90°，

∴∠OED=90°，即OE⊥DE．

又∵E是⊙O上一点，

∴DE是⊙O的切线．

（2）由（1）知∠BEC=90°．

在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B为公共角，

∴△BEC∽△BCA．

∴．

即．

∵AE︰EB=1︰2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x．

又∵BC=6，

∴．

∴，即AE=．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题