如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．（Ⅰ...

问题详情：

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．

（Ⅰ）求*：MD=ME；

（Ⅱ）如图2，连OD，OE，当∠C=30°时，求*：四边形ODME是菱形．

【回答】

【考点】M5：圆周角定理；L9：菱形的判定．

【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线*质得MA=MB，则∠A=∠MBA，再利用圆内接四边形的*质*∠MDE=∠MED，于是得到MD=ME；

（2）先*△OAD和△OBE为等边三角形，再*四边形DOEM为平行四边形，然后加上OD=OE可判断四边形ODME是菱形．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，点M是AC的中点，

∴MA=MB，

∴∠A=∠MBA；

∵四边形ABED是圆内接四边形，

∴∠ADE+∠ABE=180°，

而∠ADE+∠MDE=180°，

∴∠MDE=∠MBA；

同理可得∠MED=∠A，

∴∠MDE=∠MED，

∴MD=ME；

（2）∵∠C=30°，

∴∠A=60°，

∴∠ABM=60°，

∴△OAD和△OBE为等边三角形，

∴∠BOE=60°，

∴∠BOE=∠A，

∴OE∥AC，

同理可得OD∥BM，

∴四边形DOEM为平行四边形，

而OD=OE，

∴四边形ODME是菱形．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了菱形的判定．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题